Question

【题目】已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，且AB=BD=1，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示：

（1）求证：AB⊥CD；
（2）若M为AD的中点，求二面角A﹣BM﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB=BD，∠A=45°，∴AB⊥BD，

又∵平面ABD⊥平面BCD，且BD是平面ABD与平面BCD的交线，

∴AB⊥面BCD，

∵CD平面BCD，∴AB⊥CD．

（2）解：以B为原点，在平面BCD中过B作BD的垂线为x轴，

BD为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，

则B（0，0，0），C（1，1，0），

D（0，1，0），A（0，0，1），M（0， ），

，

面ABM的法向量为 =（1，0，0），

设平面BMC的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，﹣1，1），

cos＜ ＞= = = ，

观察知二面角A﹣BM﹣C为钝角，

故二面角A﹣BM﹣C的余弦值为﹣ ．

【解析】（1）推导出AB⊥BD，从而AB⊥面BCD，由此能证明AB⊥CD．（2）以B为原点，在平面BCD中过B作BD的垂线为x轴，BD为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BM﹣C的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．