Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l的高调函数，如果定义域是[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围是

m≥2

，如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是

-2≤a≤2．

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Answer 1

分析：由题意可知，（1）当x≥-1时，x+m≥m-1≥-1，于是有m≥0，而m≠0，从而m＞0．由f（x+l）≥f（x）即可求得m的范围；（2）依题意可知，|x+8-a²|-a²≥|x-a²|-a²，进一步整理可得a²≤x+4，（x≥0），结合恒成立问题可求得实数a的取值范围，当x≤0时，-x≥0，同理可求a²≤（4-x）_min=4；从而可得答案．

解答：解：（1）∵定义域是[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上的m高调函数，
∴当x≥-1时，x+m≥m-1≥-1，
∴m≥0，而m≠0，
∴m＞0．
又函数f（x）=x²为[-1，+∞）上的m高调函数，
∴f（x+m）≥f（x），即（x+m）²≥x²，
∴2mx+m²≥0，又m＞0，
∴m≥-2x（x≥-1）恒成立，
∴m≥（-2x）_max，由x≥-1可得-x≤1，-2x≤2，
∴（-2x）_max=2，
∴m≥2．
故答案为：m≥2．
（2）∵当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的8高调函数，
∴f（x+8）≥f（x），
∴|x+8-a²|-a²≥|x-a²|-a²，
∴|x+8-a²|≥|x-a²|，即[（x-a²）+8]²≥（x-a²）²，
∴16（x-a²）+64≥0，
∴a²≤x+4，
∴a²≤（x+4）_min=4；
当x≤0时，-x≥0，同理可求，a²≤（4-x）_min=4；
∴-2≤a≤2．
故答案为：-2≤a≤2．

点评：本题考查带绝对值的函数，着重考查函数恒成立问题，理解题意，合理转化是解决问题的关键，考查分析，转化与运算能力，属于难题．