Question

11．求下列各题中的函数f（x）的解析式．
（1）已知函数y=f（x）满足2f（x）+f$（{\frac{1}{x}}）$=2x，x∈R且x≠0，求f（x）；
（2）已知f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x，求f（x）．

Answer 1

分析 （1）可将式子$2f（x）+f（\frac{1}{x}）=2x$中的x换上$\frac{1}{x}$，这样便可又得到一个关于$f（x），f（\frac{1}{x}）$的式子，这两个式子联立即可解出f（x）；
（2）根据f（x）为二次函数，且f（0）=1，便可设f（x）=ax²+bx+1，而根据f（x+1）=f（x）+2x便可得到2ax+a+b=2x，从而便有$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，这样便可求出a，b，从而得出f（x）．

解答 解：（1）将式子2f（x）+$f（\frac{1}{x}）$=2x①中的x换上$\frac{1}{x}$得到：
$2f（\frac{1}{x}）+f（x）=\frac{2}{x}$②；
①②联立解出f（x）=$\frac{4}{3}x-\frac{2}{3x}$；
（2）二次函数f（x）满足f（0）=1；
∴设f（x）=ax²+bx+1，则：
f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+bx+1+2ax+a+b；
∴由f（x+1）=f（x）+2x得，ax²+bx+1+2ax+a+b=ax²+bx+1+2x；
∴2ax+a+b=2x；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$；
∴f（x）=x²-x+1．

点评 考查函数解析式的概念及求法，构造关于f（x）的方程组求函数解析式的方法，待定系数求解析式的方法，以及多项式相等时，对应项的系数相等．