Question

3．将下列方程化为有理方程：|$\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}$-$\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}$|=2a（其中0＜a＜c）．

Answer 1

分析 利用有理化因式及其平方即可得出．

解答 解：∵|$\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}$-$\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}$|=2a（其中0＜a＜c）．
∴$\frac{4cx}{\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}}$=2a，
∴$\frac{2cx}{a}$=$\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}$，
又$\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}$-$\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}$=±2a（其中0＜a＜c）．
∴$2\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{2cx}{a}±2a$，
∴（x+c）²+y²=$（\frac{cx}{a}±a）^{2}$，
整理为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，其中b²=c²-a²，即化为有理方程．

点评 本题考查了有理化因式及其平方法、根式的运算性质，考查了计算能力，属于中档题．