Question

已知函数f(x)=

x

2x+1

，数列{a_n}满足a₁=f（1），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=a_n•a_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n，并比较S_n与

n

2n+18

．

Answer 1

（Ⅰ）a₁=f（1）=

1

2+1

=

1

3

，a₂=f（a₁）=f（

1

3

）=

1 3

2 3 +1

=

1

5

；
（Ⅱ）∵an+1=

an

2an+1

，
∴

1

an+1

=

2an+1

an

=2+

1

an

∴

1

an+1

-

1

an

=2
∵a₁=

1

3

，∴

1

a1

=3
∴数列{

1

an

}是首项为3，公差为2的等差数列，
∴

1

an

=2n+1，
∴an=

1

2n+1

（Ⅲ）bn=an•an+1=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
∴Sn=

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

n

6n+9

n=1时，S₁=

1

15

，

n

2n+18

=

1

20

，S_n大于

n

2n+18

；
n=2时，S₂=

2

21

，

n

2n+18

=

1

11

，S_n大于

n

2n+18

，
n=3时，S₃=

1

9

，

n

2n+18

=

3

26

，S_n小于

n

2n+18

；
n=4时，S₄=

4

33

，

n

2n+18

=

2

17

，S_n大于

n

2n+18

；
猜想n≥4时，S_n大于

n

2n+18

；
证明如下：①n=4时，S₄=

4

33

，

n

2n+18

=

2

17

，S_n大于

n

2n+18

，结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即

k

6k+9

＞

k

2k+18

，∴2^k＞6k-9
n=k+1时，有2^k+1+18＞2（6k-9）+18＞6（k+1）+9，
∴

k+1

6(k+1)+9

＞

k+1

2k+1+18

，结论成立
由①②可知，结论成立．