Question

数列{a_n}的前n项的和为S_n，对于任意的自然数a_n＞0，4Sn=(an+1)2
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列，并求通项公式
（Ⅱ）设bn=

an

3n

，求和T_n=b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令n=1求出首项，然后根据4a_n=4S_n-4S_n-1进行化简得a_n-a_n-1=2，从而得到数列{a_n}是等差数列，直接求出通项公式即可；
（Ⅱ）确定数列通项，利用错位相减法，可求数列的和．

解答：（Ⅰ）证明：∵4S₁=4a₁=（a₁+1）²，∴a₁=1．
当n≥2时，4a_n=4S_n-4S_n-1=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
∴2（a_n+a_n-1）=a_n²-a_n-1²，
又{a_n}各项均为正数，∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）解：bn=

an

3n

=

2n-1

3n

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

31

+

3

32

+…+

2n-1

3n

---①
∴

1

3

T_n=

1

32

+

3

33

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

---②
①-②

2

3

T_n=

1

31

+2（

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

）-

2n-1

3n+1

=

2

3

-

2n+2

3n+1

∴T_n=1-

2

3

-

n+1

3n

．

点评：本题主要考查了数列的递推关系，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．