Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2．
（1）证明：当点E在棱AB上移动时，D₁E⊥A₁D；
（2）在棱AB上是否存在点E，使二面角D₁-EC-D的平面角为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设E（1，y，0）（0≤y≤2）分别求出，然后计算数量积为0可判定D₁E⊥A₁D；
（2）先根据线面垂直求出平面D₁EC的法向量为，而平面ECD的一个法向量为=（0，0，1），要使二面角D₁-EC-D的平面角为，则，可解得y，求出所求．
解答：解：以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（0，2，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1）．（1分）
设E（1，y，0）（0≤y≤2）．（2分）
（1）证明：
∵，．
则，
∴，即D₁E⊥A₁D． （4分）
（2）解：当时，二面角D₁-EC-D的平面角为．（5分）
∵，，（6分）
设平面D₁EC的法向量为=（x，y，z），
则（8分）
取y=1，则n₁=（2-y，1，2）是平面D₁EC的一个法向量．（9分）
而平面ECD的一个法向量为=（0，0，1），（10分）
要使二面角D₁-EC-D的平面角为，
则，（12分）
解得（0≤y≤2）．
∴当时，二面角D₁-EC-D的平面角为．（14分）
点评：本题主要考查了两直线垂直的判定，以及利用空间向量的方法求解二面角的平面角，同时考查了计算能力，属于中档题．