Question

【题目】设定义在上的函数,函数,当时,取得极大值,且函数

的图象关于点对称.

（1）求函数的表达式；

（2）求证：当时, 为自然对数的底数）；

（3）若,数列中是否存在？若存在,求出所有相等的两项,若不存在,说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，

【解析】

试题分析：（1）函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称,即函数是奇函数.再结合当时,取得极大值，导数为零，可求得；（2）由（1）知当时不等式即为：，等价于，构造函数，利用导数证明函数在上是减函数，故有时,成立, 用代换得：时,成立；（3）依题意，利用特殊项可知，利用商比较法证明的单调性，由此求得是唯一结果.

试题解析：

（1）将函数的图象向右平移一个单位,得到函数的图象,函数的图象关于点对称,即函数是奇函数,,

由题意得：,所以,经检验满足题意.

（2）由（1）知当时不等式即为：,构造函数,

则,所以函数在上是减函数, 因而时,,即：时,成立,用代换得：时,成立,所以时,成立.

（3）,则由（2）知：,

令,得：,结合得：,因此,当时,有,所以当时,,即：,又通过比较的大小知：,因为,且时,所以若数列中存在相等的两项,只能是、与后面的项可能相等,又,所以数列中存在唯一相等的两项,即：.