Question

已知二次函数f（x）=ax²-bx+1．
（1）若f（x）＜0的解集是(

1

4

，

1

3

)，求实数a，b的值；
（2）若a+b+2=0，且函数f（x）＞3x+1，x∈（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（x）＜0的解集是(

1

4

，

1

3

)，可得

1

4

，

1

3

是ax²-bx+1=0的根，利用韦达定理，即可求实数a，b的值；
（2）f（x）＞3x+1，等价于ax²+（a-1）x＞0，由此可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）＜0的解集是(

1

4

，

1

3

)，
∴

1

4

，

1

3

是ax²-bx+1=0的根，
∴

1 4 + 1 3 = b a 1 4 • 1 3 = 1 a

∴a=12，b=7；
（2）∵a+b+2=0，
∴b=-a-2
∴f（x）＞3x+1，等价于ax²+（a-1）x＞0
∵f（x）＞3x+1，x∈（0，1）上恒成立，
∴ax+（a-1）＞0，x∈（0，1）上恒成立，
∴

a-1＞0 2a-1＞0

∴a＞1．

点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．