Question

【题目】为了保护环境,某工厂在政府部门的支持下,进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品,经测算,该处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：,且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品．

（1）当时,判断该技术改进能否获利？如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,则国家至少需要补贴多少万元,该工厂才不亏损？

（2）当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少．

Answer 1

【答案】（1）国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损；（2）当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少．

【解析】

试题（1）利用每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品，及处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论；（2）求得二氧化碳的每吨平均处理成本函数是分段函数，再分段求出函数的最值，比较其大小，即可求得结论．

试题解析：（Ⅰ）当时，设该工厂获利为，则，所以当时，，因此，该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损； 5分

（Ⅱ）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为6分

（1）当时，，所以，因为，所以当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以当时，取得极小值． 9分

（2）当时，，当且仅当，即时，取最小值， 12分

因为，所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少． 13分