题目内容
已知数列{an}满足a1=2，an+1=2(1+
)2an．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．
| 1 | n |
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．
分析：（Ⅰ）利用数列递推式，可得{
}是首项为2，公比为2的等比数列，由此可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）利用两次错位相减法，即可求数列{an}的前n项和Sn．
| an |
| n2 |
（Ⅱ）利用两次错位相减法，即可求数列{an}的前n项和Sn．
解答：解：（Ⅰ）∵an+1=2(1+
)2an，∴
=2×
，
∵a1=2，∴{
}是首项为2，公比为2的等比数列，∴
=2n
∴数列{an}的通项公式为an=n2×2n；
（Ⅱ）Sn=2×12+22×22+…+n2×2n①
①×2可得2Sn=22×12+23×22+…+n2×2n+1②
①-②可得-Sn=2×1+22×3+…+2n×（2n-1）-n2×2n+1③
③×2可得-2Sn=22×1+23×3+…+2n+1×（2n-1）-n2×2n+2④
③-④，可得Sn=2+22×2+23×2+…+2n×2-2n×（2n-1）-n2×2n+1+n2×2n+2
=2+
+2n+1(n2-2n+1)=2n+1（n2-2n+3）-6
∴Sn═2n+1（n2-2n+3）-6
| 1 |
| n |
| an+1 |
| (n+1)2 |
| an |
| n2 |
∵a1=2，∴{
| an |
| n2 |
| an |
| n2 |
∴数列{an}的通项公式为an=n2×2n；
（Ⅱ）Sn=2×12+22×22+…+n2×2n①
①×2可得2Sn=22×12+23×22+…+n2×2n+1②
①-②可得-Sn=2×1+22×3+…+2n×（2n-1）-n2×2n+1③
③×2可得-2Sn=22×1+23×3+…+2n+1×（2n-1）-n2×2n+2④
③-④，可得Sn=2+22×2+23×2+…+2n×2-2n×（2n-1）-n2×2n+1+n2×2n+2
=2+
| 23(2n-1-1) |
| 2-1 |
∴Sn═2n+1（n2-2n+3）-6
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查错位相减法求数列的和，考查学生的计算能力，属于中档题．
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