Question

（2012•浙江模拟）已知数列{a_n}满足：a1=a2-2a+2，an+1=an+2(n-a)+1，n∈N*，当且仅当n=3时，a_n最小，则实数a的取值范围为（　　）

• A．（-1，3）
• B．(

  5

  2

  ，3)
• C．(

  5

  2

  ，

  7

  2

  )
• D．（2，4）

Answer 1

分析：题目给出了数列的首项和递推式，且递推式符合a_n+1=a_n+f（n）型，所以首先运用累加的办法求出a_n的通项，然后结合函数思想求解使a₃取最小值时的a的范围．

解答：由a_n+1=a_n+2（n-a）+1
得：a₂=a₁+2（1-a）+1
    a₃=a₂+2（2-a）+1
    a₄=a₃+2（3-a）+1
…
    a_n=a_n-1+2（n-1-a）+1
累加得：a_n=a₁+2[1+2+3+…+（n-1）-（n-1）a]+n-1
=a1+2

(n-1)n

2

-2(n-1)a+n-1
因为a1=a2-2a+2，所以an=a2-2a+2+n2-n-2an+2a+n-1=n²-2an+a²-1
设f(n)=an=n2-2an+a2-1，该函数开口向上，对称轴方程为n=-

-2a

2

=a，
因为n∈N^*，所以当

5

2

＜a＜

7

2

时，f（n）=a_n最小．
故选C．

点评：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力．提高学生分析问题和解决问题的能力．