Question

【题目】在四棱锥中，底面是正方形，底面，，、、分别是棱、、的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下三个结论：

①截面的面积等于；

②截面是一个五边形；

③截面只与四棱锥四条侧棱中的三条相交．

其中，所有正确结论的序号是______．

Answer 1

【答案】②③

【解析】

取的中点，的四等分点，顺次连接、、、、，则平面即为过、、的平面截四棱锥所得截面，计算出截面面积，根据截面形状可判断命题①②③的正误.

取的中点，的四等分点，顺次连接、、、、，

则平面即为过、、的平面截四棱锥所得截面，如下图所示：

在四棱锥中，底面是正方形，底面，，

、分别为、的中点，且，

平面，平面，平面，

平面，平面平面，，

为的中点，为的中点，，

同理可得，且，

平面，平面，，

四边形为正方形，则，

，平面，平面，，

则，所以，四边形为矩形，其面积为，

设，，则为的中点，为的中点，

，，

平面，平面，平面平面，，且，

的边上的高为，

的面积为.

所以，截面面积为，命题①错误；

该截面是一个五边形，命题②正确；

由图可知，截面与四棱锥侧棱、、相交，命题③正确.

故答案为：②③.