题目内容
定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)＝log23且对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；
(2)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围.
(1)函数f(x)是奇函数，
∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)，①
令x＝y＝0，代入①式，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，
即f(0)＝0.
令y＝－x，代入①式，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
又f(0)＝0，
则有0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立.
∴f(x)是奇函数.
(2)f(3)＝log23＞0，即f(3)＞f(0)，
又f(x)在R上是单调函数，
∴f(x)在R上是增函数，又由(1)，f(x)是奇函数
，可知f(k·3x)＜－f(3x－9x－2)＝f(9x－3x＋2)，
∴k·3x＜9x－3x＋2对任意x∈R恒成立，
∴k＜3x＋
－1对任意x∈R恒成立，
而3x＋≥2
(当且仅当3x＝时等号成立)，
∴k＜2－1，
综上所述k＜2－1时f(k·3x)＋f(3x－9x－2)＜0对任意x∈R恒成立.
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