题目内容

已知抛物线y²=4x的焦点为F，准线为 $数学公式$ 交于A，B两点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
2
D.
$数学公式$

B
分析：依题意，可求得物线的准线方程与焦点的坐标，从而可求得点A，B的坐标，利用 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0可求得a²的值，从而可求得双曲线的离心率．
解答：由抛物线y²=4x得：抛物线的准线方程为x=-1，抛物线的焦点F的坐标是（1，0）．
令 $\text{[math]}$ -y²=1中的x=-1，得： $\text{[math]}$ -y²=1，
∴y²= $\text{[math]}$ -1
∴y= $\text{[math]}$ ，或y=- $\text{[math]}$ ．
∴A、B的坐标分别是（-1，- $\text{[math]}$ ）、（-1， $\text{[math]}$ ）．
∴向量 $\text{[math]}$ =（-2，- $\text{[math]}$ ），向量 $\text{[math]}$ =（-2， $\text{[math]}$ ）．
∵△FAB是Rt△，显然有：| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，
∴4-（ $\text{[math]}$ -1）=0
∴a²= $\text{[math]}$ ，
∴c²= $\text{[math]}$ +1= $\text{[math]}$ ．
∴e²= $\text{[math]}$ =6，
∴e= $\text{[math]}$ ．
∴双曲线的离心率是 $\text{[math]}$ ．
故选B．
点评：本题考查双曲线与抛物线的简单性质，求得点A，B的坐标，利用 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0求得a²的值是关键，也是难点，属于难题．