Question

将抛物线y²＝2x按＝(，0)平移后，得到抛物线C，若C与直线L：x＋y＋m＝0(m≥0)交于A、B不同两点，设抛物线C的焦点为F，(1)试求u＝m的值(用m表)(2)当u取最大值时，试求L的方程．

Answer 1

答案：
解析：

(1)已易C的方程为y2＝2(x＋)，焦点为F(0，0)． 　　消去y得：x2＋2(m－1)x＋m2－1＝0 　　由△＝4(m－1)2－4(m2－1)＞0得m＜1 　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理 　　∴y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝m2－1＋2m(1－m)＋m2＝2m－1 　　∴·＝·＝x1x2＋y1y2＝m2＋2m－2 　　又抛物线C的准线方程为x＝－1，由抛物线定义 　　＝＝x1＋1 　　＝＝x2＋1 　　∴·＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝m2－2m＋2 　　∴u＝m·－·＝m3－3m2＋2 　　(2)∴＝3m2－6m＝3m(m－2) 　　∵m≥0且m＜1 　　即0≤m＜1 　　∴＝3m(m－2)≤0 　　∴u＝m3－3m2＋2在[0，1]单调减函数． 　　∴当m＝0时，umax＝2，L方程：x＋y＝0