Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）设bn=

an

2n

，求证数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=

n(n+1)

an

，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求证：T_n≥1（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ+2，两式作差变形可得，要注意n=1的情况．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=

n(n+1)

an

=(n+1)(

1

2

)n，表示T_n=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3++(n+1)(

1

2

)n观察结构，用错位相减法求解．

解答：解：（Ⅰ）在S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2中，令n=1，可得S₁=2a₁-2²+2，即a₁=2
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ+2，则a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-2ⁿ∴a_n=2a_n-1+2ⁿ，即

an

2n

=

an-1

2n-1

+1
∵bn=

an

2n

∴b_n=b_n-1+1，即当n≥2时，b_n-b_n-1=1
又b1=

a1

2

=1∴数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列
于是b_n=1+（n-1）•1=n（n∈N^*），
从而a_n=2ⁿ•b_n=n•2ⁿ（n∈N^*）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得cn=

n(n+1)

an

=(n+1)(

1

2

)n，
所以T_n=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3++(n+1)(

1

2

)n

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+4×(

1

2

)4++(n+1)(

1

2

)n+1
两式相减得

1

2

Tn=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3++(

1

2

)n-(n+1)(

1

2

)n+1
=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹=

3

2

-

n+3

2n+1

∴Tn=3-

n+3

2n

∵Tn+1-Tn=

n+3

2n

-

n+4

2n+1

=

n+2

2n+1

＞0
∴数列{T_n}是增数列故Tn≥T1=3-

4

2

=1，命题得证．

点评：本题主要考查数列的转化与变形求通项公式及用错位相减法求前n项和．