Question

已知函数f（x）=ax²-3x+lnx（a＞0）
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）在区间[

1

2

，2]上的最值；
（2）若函数f（x）在定义域内是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax²-3x+lnx（a＞0），
∴f′（x）=2ax-3+

1

x

，x＞0
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴k=2a-2=0，∴a=1，
∴f（x）=x²-3x+lnx，f′（x）=2x-3+

1

x

，x＞0，
令f′（x）=2x-3+

1

x

＜0，可得

1

2

＜x＜1；令f′（x）＞0，可得0＜x＜

1

2

或x＞1；
∴函数f（x）的单调减区间为[

1

2

，1），单调增区间为（1，+∞），
当在区间[

1

2

，2]时．∴f（x）在区间[

1

2

，1]上为增函数，f（x）在区间[1，2]上为增函数．（4分）
∴f_max（x）=f（2）=-2+ln2，f_min（x）=f（1）=-2．（6分）
（2）原函数定义域为（0，+∞）
∴f′（x）=2ax-3+

1

x

=

2ax2-3x+1

x

，∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，
∴f'（x）≤0或f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立
由于a＞0，设g（x）=2ax²-3x+1（x∈（0，+∞））
由题意知△=9-8a≤0
∴a≥

9

8

所以a的取值范围为：a≥

9

8

．（12分）