Question

若双曲线的焦点关于渐近线对称的点恰在双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  5

  5

• B．

  5

  2

• C．2
• D．

  5

Answer 1

分析：不妨设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，其右焦点F（c，0）关于渐近线y=

b

a

x对称的点在双曲线上，解方程组可得点的坐标，代入方程结合a²+b²=c²，解出

c

a

即得．

解答：解：不妨设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，其右焦点F（c，0）关于渐近线y=

b

a

x对称的点在双曲线上．
过焦点F且垂直渐近线的直线方程为：y-0=-

a

b

（x-c），即y=-

a

b

（x-c），
联立渐近线方程可得方程组

y= b a x y=- a b (x-c)

，解之可得

x= a2 c y= ab c

，
故对称中心的点坐标为（

a2

c

，

ab

c

），由中点坐标公式可得对称点的坐标为（

2a2

c

-c，

2ab

c

），
将其代入双曲线的方程可得

(2a2-c2)2

a2c2

-

4a2b2

b2c2

=1，结合a²+b²=c²，
化简可得c²=5a²，故可得e=

c

a

=

5

故选D

点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解和对称问题，属中档题．