题目内容

设椭圆M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）经过点P(1，
2
)，其离心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）直线l：y=
2
x+m交椭圆于A、B两点，且△PAB的面积为
2
，求m的值．
（Ⅰ）由已知，得
(
2
)2
a2
+
12
b2
=1
a2=b2+c2
c
a
=
2
2
，解得
a=2
c=
2
b=
2
，
故所求椭圆M的方程为
y2
4
+
x2
2
=1．
（Ⅱ）由
y=
2
x+m
x2
2
+
y2
4
=1
，得4x2+2
2
mx+m2-4=0，
由△=(2
2
m)2-16(m2-4)＞0，解得-2
2
＜m＜2
2
，
设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2=-
2
2
m，x1x2=
m2-4
4
，
所以|AB|=
1+2
|x1-x2|=
3
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
3
•
1
2
m2-m2+4
=
3
•
4-
m2
2
，
又P到AB的距离为d=
|m|
3
，
则S△ABC=
1
2
|AB|•d=
1
2
3
•
4-
m2
2
•
|m|
3
=
1
2
m2(4-
m2
2
)
=
1
2
2
m2(8-m2)
，
所以
1
2
2
m2(8-m2)
=
2
，m4-8m2+16=0，解得m=±2，
显然±2∈(-2
2
，2
2
)，故m=±2．
练习册系列答案
相关题目
已知定点A（2，0），它与抛物线y2=x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为______．
已知离心率为
3
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞o）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆于C不同的两点A，B．
（1）求椭圆的C方程．
（2）证明：若直线MA，MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
3
2
，且过点（
3
，
1
2
）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（k≠0，m＞0）与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程．
设a、b是非零实数，则方程bx2+ay2=ab及ax+by=0所表示的图形可能是（　　）
A．B．C．D．
已知两点M（2，0）、N（-2，0），平面上动点P满足由|
MN
|•|
MP
|+
MN
•
MP
=0
（1）求动点P的轨迹C的方程．
（2）是否存在实数m使直线x+my-4=0（m∈R）与曲线C交于A、B两点，且OA⊥OB？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知点F是双曲线C：x2-y2=2的左焦点，直线l与双曲线C交于A、B两点，
（1）若直线l过点P（1，2），且
OA
+
OB
=2
OP
，求直线l的方程．
（2）若直线l过点F且与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，设
FB
=λ
FA
，当λ∈[6，+∞）时，求直线l的斜率k的取值范围．
过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△AOB的面积为（　　）
A．5B．
5
2
C．
3
2
D．
17
8
已知F1，F2为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．
（Ⅰ）若点P为双曲线与圆x2+y2=a2+b2的一个交点，且满足|PF1|=2|PF2|，求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）设双曲线的渐近线方程为y=±x，F2到渐近线的距离是
2
，过F2的直线交双曲线于A，B两点，且以AB为直径的圆与y轴相切，求线段AB的长．

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