Question

设实数x，y同时满足条件：4x²-9y²=36，且xy＜0．
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性；
（3）若方程f（x）=k（x-1）（k∈R）恰有两个不同的实数根，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由4x²-9y²=36，知y=±

2

3

x2-9

，由4x²-36=9y²＞0，知x＞3，x＜-3，由此能求出函数y=f（x）的定义域．
（2）当x＜-3有-x＞3，f（-x）=-

2

3

(-x)2-9

=-

2

3

x2-9

=-f（x），同理，当x＞3时，有f（-x）=-f（x）．由此能够推导出f（x）为定义域上的奇函数．
（3）联立方程组

4x2-9y2=36 y=k(x-1)

可得，（4-9k²）x²+18k²x-（9k²+36）=0，由此分类讨论能够求出k的取值范围．

解答：解：（1）∵4x²-9y²=36，
∴y=±

2

3

x2-9

．
∵xy＜0，∴y≠0．
又∵4x²-36=9y²＞0，
∴x＞3，x＜-3．
∵xy＜0，
∴f(x)=

2 3 x2-9 (x＜-3) - 2 3 x2-9 (x＞3)

．
函数y=f（x）的定义域为集合D={x∈R|x＞3，x＜-3}．
（2）当x＜-3有-x＞3，f（-x）=-

2

3

(-x)2-9

=-

2

3

x2-9

=-f（x），
同理，当x＞3时，有f（-x）=-f（x）．
任设x∈D，有f（-x）=-f（x），
∴f（x）为定义域上的奇函数．
（3）联立方程组

4x2-9y2=36 y=k(x-1)

，
可得，（4-9k²）x²+18k²x-（9k²+36）=0，
（Ⅰ）当k2=

4

9

时，即k=±

2

3

时，方程只有唯一解，与题意不符；
∴k≠±

2

3

．
（Ⅱ）当k2≠

4

9

时，即方程为一个一元二次方程，
要使方程有两个相异实数根，
则△=（18k²）²+4×（4-9k²）（9k²+36）＞0．
解之得  -

2

2

＜k＜

2

2

，但由于函数f（x）的图象在第二、四象限．
故直线的斜率k＜0，
综上可知-

2

2

＜k＜-

2

3

或-

2

3

＜k＜0．

点评：本题考查函数的性质和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．