题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ，数列{a_n}满足a₁=2，且a_n= $数学公式$ ．
（1）求证：数列{ $数学公式$ }是等差数列；
（2）对一切正整数n，令S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求S_n．

解：（1）证明：由题意可得 a_n= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ ，∴{ $\text{[math]}$ }是以1为公差的等差数列．
（2）由（1）可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +（n-1）×1= $\text{[math]}$ ，∴a_n= $\text{[math]}$ ．
故S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=4× $\text{[math]}$ +4× $\text{[math]}$ +4× $\text{[math]}$ +…+4× $\text{[math]}$
=4[1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ]=4×（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意可得 a_n= $\text{[math]}$ ，化简可得 $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ ，从而得出结论．
（2）由（1）可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +（n-1）×1= $\text{[math]}$ ，得 a_n= $\text{[math]}$ ，用裂项法求出S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1 的值．
点评：本题主要考查等差关系的确定，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．

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