Question

已知二次函数同时满足：①不等式≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立，设数列｛｝的前项和．
（1）求函数的表达式；
(2) 设各项均不为0的数列｛｝中，所有满足的整数的个数称为这个数列｛｝的变号数，令（）,求数列｛｝的变号数；　
（3）设数列｛｝满足：，试探究数列｛｝是否存在最小项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）   (2) ３

（１）∵不等式≤0的解集有且只有一个元素
∴　解得或----------2分
当时函数在递增，不满足条件②
当时函数在（０，２）上递减，满足条件②
综上得，即----------4分
（２）由（１）知
当时，，当≥２时＝＝
∴-------6分由题设可得----7分
∵，，∴，都满足
∵当≥３时，
即当≥３时，数列｛｝递增，∵，由，可知满足∴数列｛｝的变号数为３。-----9分
（３）∵＝,　由（２）可得：
--------------11分
＝＝-------13分
∵当时数列｛｝递增，∴当时，最小, 又∵，
∴数列｛｝存在最小项------14分
〔或∵＝,由（２）可得：
-----11分
＝
对于函数　∵
∴函数在上为增函数，∴当时数列｛｝递增，
∴当时，最小，---13分
又∵，　∴数列｛｝存在最小项---------14分〕