Question

设双曲线H: -=1(a＞0,b＞0)满足如下条件:①ab=;②直线l过右焦点F,斜率为,交y轴于点P,线段PF交H于Q,且|PQ|∶|QF|=2∶1.求双曲线的方程.

Answer 1

解：设c=,则F(c,0),l的方程y=(x-c),

令x=0,得P(0,-c).

设Q(x₀,y₀),则由λ==2,有x₀=c,y₀=-c.

∵Q在H上,

∴(c)²-()²=1,

即(1+)-(+1)=1.

令t=,则上式变为(1+t)-(1+)=1,

16t²-41t-21=0.

∴t=3,t=-(舍去).

=3,又ab=,

∴b²=3,a²=1.

∴H的方程是x²-=1.