题目内容
已知函数f（x）=lnx+m-2f′（1），m∈R．函数f（x）的图象过点（1，-2）且函数g（x）=
+af（x）在点（1，g（1））处的切线与y轴垂直，则g（x）的极小值为（ ）
| 1 |
| x |
| A、1 | B、-1 | C、2 | D、-2 |
分析：求出导函数，令x=1求出f′（1）的值，再将（1，-2）代入f（x）求出m的值；求出g′（x）令其x=1求出g′（1）=0求出a值；求出g′（x）=0的根，判断出根左右两边的符号，求出极小值．
解答：解：∵f′(x)=
∴f′（1）=1
∴f（x）=lnx+m-2
∵函数f（x）的图象过点（1，-2）
∴-2=m-2
∴m=0
∴f（x）=lnx-2
∴g(x)=
+alnx-2a
∴g′(x)=-
+
∵在点（1，g（1））处的切线与y轴垂直
∴g′（1）=0即-1+a=0解得a=1
g′(x)=-
+
令g′（x）=0得x=1
当x＞1时，g′（x）＞0；当0＜x＜1时，g′（x）＜0
所以当x=1时，g（x）有极小值g（1）=1-2=-1
故选B
| 1 |
| x |
∴f′（1）=1
∴f（x）=lnx+m-2
∵函数f（x）的图象过点（1，-2）
∴-2=m-2
∴m=0
∴f（x）=lnx-2
∴g(x)=
| 1 |
| x |
∴g′(x)=-
| 1 |
| x2 |
| a |
| x |
∵在点（1，g（1））处的切线与y轴垂直
∴g′（1）=0即-1+a=0解得a=1
g′(x)=-
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x |
当x＞1时，g′（x）＞0；当0＜x＜1时，g′（x）＜0
所以当x=1时，g（x）有极小值g（1）=1-2=-1
故选B
点评：本题考查曲线的切线问题时，常利用的是切线的导数在切点处的导数值为切线的斜率；解决函数的极值问题唯一的方法是利用导数．
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