Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且4cosC•sin2

C

2

+cos2C=0．
（I）求cosC的值；
（II）若3ab=25-c²，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）将半角即二倍角分别化为单角，化简即可求出cosC的值；
 （II） 利用余弦定理，结合条件3ab=25-c²，可得a+b=5，进而利用基本不等式可求△ABC面积的最大值．

解答：解：（I）由条件：4cosC•

1-cosC

2

+2cos2C-1=0
∴cosC=

1

2

…（6分）
（II）由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC
∴25-3ab=a²+b²-ab
∴（a+b）²=25
∴a+b=5
∴S△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

4

•(

a+b

2

)2=

25 3

16

当且仅当a=b=

5

2

取得最大值．…（13分）

点评：本题以三角函数为载体，考查三角公式，考查余弦定理的运用，考查三角形面积公式，综合性强．