Question

已知变量x，y满足约束条件

x+y-4≥0  x-y+2≥0  2x-y-5≤0

则f（x，y）=

x+2y

2x+y

的取值范围是

[

5

7

，

7

5

]

．

Answer 1

分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件

x+y-4≥0  x-y+2≥0  2x-y-5≤0

，的可行域，然后分析 f（x，y）=

x+2y

2x+y

的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解．

解答：解析：画出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，
则f（x，y）=

x+2y

2x+y

=

1+2• y x

2+ y x

，令

y

x

=k，则f（x，y）=g（k）=

1+2k

2+k

=2-

3

2+k

．
而k=

y

x

表示可行域内的点P（x，y）与坐标原点O的连线的斜率，观察图形可知，k_OA≤k≤k_OB，而k_OA=

1

3

，k_OB=3，
∴

1

3

≤k≤3，即

5

7

≤f（x，y）≤

7

5

．
故答案为：[

5

7

，

7

5

]．

点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．