Question

已知二次函数f（x）对任意实数x满足f（x+2）=f（-x+2），又f（0）=3，f（2）=1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先由题意设f（x）=ax²+bx+c，再结合f（2+x）=f（2-x）得到x=2是对称轴，从而建立a，b，c的关系式，即可求得a，b，c．最后写出函数f（x）的解析式即可；
（2）由于对称轴为x=2，且f（2）=1，得到f（0）=f（4）=3，从而有：2≤m≤4，即m的取值范围为[2，4]．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c
∵f（2+x）=f（2-x）
∴x=2是对称轴
故-

b

2a

=2f（0）=c=3f（2）=4a+2b+c=1
∴a=

1

2

    b=-2
∴f(x)=

1

2

x2-2x+3
（2）∵对称轴为x=2，且f（2）=1
∴f（0）=f（4）=3，为了使得f（x）在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，
∴2≤m≤4
∴m的取值范围为[2，4]．

点评：本小题主要考查二次函数的性质、二次函数在闭区间上的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．