Question

1．（1）曲线C的极坐标方程为$ρcos（θ-\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$，以极点O为原点，极轴Ox为x的非负半轴，保持单位长度不变建立直角坐标系xoy．求曲线C的直角坐标方程；
（2）已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=$\frac{π}{6}$，
①写出直线l的参数方程．
②设l与圆x²+y²=4相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标化为直角坐标的公式即可得出；
（2）①利用斜率的意义及其定点可得参数方程；②把直线参数方程代入圆的方程化为一元二次方程，利用根与系数的关系即可得出．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为$ρcos（θ-\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$，展开化为$\frac{1}{2}ρcosθ$+$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ$=$\frac{1}{2}$，∴曲线C的直角坐标为：$x+\sqrt{3}y=1$，
（2）①直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcos\frac{π}{6}\\ y=1+tsin\frac{π}{6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=1+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）．
②把直线$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=1+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$代入x²+y²=4可得${（1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t）^2}+{（1+\frac{1}{2}t）^2}=4，{t^2}+（\sqrt{3}+1）t-2=0$，
∴t₁t₂=-2，则点P到A，B两点的距离之积为2．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、斜率的意义、参数方程及其应用、一元二次方程及其根与系数的关系、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．