题目内容
设函数f（x）=
．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）证明：函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
| x2-1 |
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）证明：函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
分析：（1）先求定义域，然后根据奇偶函数的定义进行判断；
（2）设1≤x1＜x2，只需利用作差证明f （x1）＜f （x2）；
（2）设1≤x1＜x2，只需利用作差证明f （x1）＜f （x2）；
解答：解：（1）f（x）为偶函数，理由如下：
由x2-1≥0得f（x）的定义域为（-∞，-1]∪[1，+∞），
又f（-x）=f（x），
所以f（x）为偶函数．
（2）设1≤x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=
-
=
=
，
∵1≤x1＜x2，∴
-
＜0，
+
＞0，
∴f （x1）-f （x2）＜0，即f （x1）＜f （x2），
∴函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
由x2-1≥0得f（x）的定义域为（-∞，-1]∪[1，+∞），
又f（-x）=f（x），
所以f（x）为偶函数．
（2）设1≤x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=
| x12-1 |
| x22-1 |
=
| (x12-1)-(x22-1) | ||||
|
| x12-x22 | ||||
|
∵1≤x1＜x2，∴
| x | 2 1 |
| x | 2 2 |
| x12-1 |
| x22-1 |
∴f （x1）-f （x2）＜0，即f （x1）＜f （x2），
∴函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
点评：本题考查函数奇偶性、单调性的判断证明，属中档题，定义是解决该类题目的基础．
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