Question

已知数列{a_n}的通项公式an=log2

n+1

n+2

(n∈N*)，设前n项和为S_n，则使S_n＜-5成立的自然数n的最小值是

 

．

Answer 1

分析：根据题中已知数列{a_n}的通项公式求出其前n项和的S_n的表达式，然后令S_n＜-5即可求出n的取值范围，即可知n有最小值．

解答：解：由题意可知；a_n=log₂

n+1

n+2

（n∈N^*），
设{a_n}的前n项和为S_n=log₂

2

3

+log₂

3

4

+…+log₂

n

n+1

+log₂

n+1

n+2

，
=[log₂2-log₂3]+[log₂3-log₂4]+…+[log₂n-log₂（n+1）]+[log₂（n+1）-log₂（n+2）]
=[log₂2-log₂（n+2）]=log₂

2

n+2

＜-5，
即

2

n+2

＜2^-5
解得n＞62，
∴使S_n＜-5成立的自然数n有最小值为63，
故答案为：63．

点评：本题主要考查了数列与函数的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．