题目内容

已知函数f(x)=sin2x+2
3
sin(x+
π
4
)cos(x-
π
4
)-cos2x-
3
．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求f（x）在(-
π
12
，
π
2
)上的值域．
（3）若A∈(-
π
12
，
π
2
)，且f(A)=
3
，求A．
分析：先对函数f（x）化简，将其整理成f（x）=2sin（2x-
π
6
）
（1）由周期公式及ω=2，周期易求；由正弦函数的性质，令2kπ+
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
3π
2
，k∈Z，解出x的取值范围即得到函数的递减区间；
（2）当x∈(-
π
12
，
π
2
)，有-
π
3
＜2x- 
π
6
＜
5π
6
，然后求出sin（2x-
π
6
）的范围，进而可求
（3）由f(A)=2sin(2A-
π
6
)=
3
，结合A的范围可得2A-
π
6
=
π
3
或2A-
π
6
=
2π
3
，可求A
解答：解：（1）∵f(x)=sin2x+2
3
sin(x+
π
4
)cos(x-
π
4
)-cos2x-
3

=2
3
sin2(x+
π
4
)-cos2x-
3
=
3
sin2x-cos2x=2sin(2x-
π
6
)
故函数f（x）的最小正周期T=
2π
2
=π
令2kπ+
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
3π
2
，k∈Z，得kπ+
π
3
≤x≤kπ+
5π
6
(k∈Z)
故f（x）的单调递减区间为[kπ+
π
3
，kπ+
5π
6
](k∈Z)．       
（2）当x∈(-
π
12
，
π
2
)，有-
π
3
＜2x- 
π
6
＜
5π
6

故sin(2x-
π
6
)∈(-
3
2
，1]．
所以f（x）在(-
π
12
，
π
2
)上的值域是(-
3
，2]．
（3）若A∈(-
π
12
，
π
2
)，2A-
π
6
∈(-
π
3
，
5π
6
)
∵f(A)=2sin(2A-
π
6
)=
3
，
∴sin(2A-
π
6
)=
3
2

∴2A-
π
6
=
π
3
或2A-
π
6
=
2π
3

解得A=
π
4
或A=
5π
12
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，解题的关键是熟练掌握三角恒等变换公式，利用公式进行化简，熟练掌握正弦函数的性质也很关键．
练习册系列答案
相关题目
（附加题）
（Ⅰ）设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时有x2∈S，给出下列四个结论：
①若m=2，则l=4
②若m=-
1
2
，则
1
4
≤l≤1
③若l=
1
2
，则-
2
2
≤m≤0④若m=1，则S={1}，
其中正确的结论为
②③④
②③④
．
（Ⅱ）已知函数f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．若对于任意的a∈[
1
2
，2]，f（x）≤10在x∈[
1
4
，1]上恒成立，则b的取值范围为
（-∞，
7
4
]
（-∞，
7
4
]
．
将正奇数列{2n-1}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记aij是这个数表的第i行第j列的数．例如a43=17
（Ⅰ）  求该数表前5行所有数之和S；
（Ⅱ）2009这个数位于第几行第几列？
（Ⅲ）已知函数f(x)=
3x
3n
（其中x＞0），设该数表的第n行的所有数之和为bn，
数列{f（bn）}的前n项和为Tn，求证Tn＜
2009
2010
．
（2012•开封二模）已知函数f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c若f(A)=
3
2
，△ABC的面积S=
3
2
，a=
3
，求b+c的值．
（2011•黑龙江一模）已知函数f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面积S．
（2012•黄山模拟）已知函数f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（Ⅰ）分别求函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）证明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
；
（Ⅲ）对一个实数集合M，若存在实数s，使得M中任何数都不超过s，则称s是M的一个上界．已知e是无穷数列an=(1+
1
n
)n+a所有项组成的集合的上界（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．

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