Question

已知双曲线x²-

y2

2

=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点．
（1）求直线AB的方程；
（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦．

Answer 1

分析：（1）设出过P（1，2）点的直线AB方程，然后代入双曲线方程，利用设而不求韦达定理求出k的值，求出AB的方程即可．
（2）按照（1）的方法，求出k=2，此时，△＜0，所以这样的直线不存在．

解答：解：（1）设过P（1，2）点的直线AB方程为y-2=k（x-1），
代入双曲线方程得
（2-k²）x²+（2k²-4k）x-（k⁴-4k+6）=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=-

2k2-4k

2-k2

，
由已知

x1+x2

2

=x_p=1，
∴

2k2-4k

k2-2

=2．解得k=1．
又k=1时，△=16＞0，从而直线AB方程为x-y+1=0．
（2）证明：按同样方法求得k=2，
而当k=2时，△＜0，
所以这样的直线不存在．

点评：本题考查双曲线的运用，以及直线的一般式，通过直线与双曲线的方程的联立，通过设而不求韦达定理解题，属于中档题．