题目内容

已知函数f（x）=
px2+2
q-3x
是奇函数，且f（2）=-
5
3
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：f（
1
x
）=f（x）；
（3）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性（不必证明）．
分析：（1）由f（x）=
px2+2
q-3x
是奇函数可得f（-x）=-f（x）恒成立，由此可求得q，由f（2）=-
5
3
，即
4p+2
-3×2
=-
5
3
可解得p；
（2）代入函数式验证即可；
（3）利用导数可判断函数f（x）在（0，1）上的单调性；
解答：解：（1）∵f（x）=
px2+2
q-3x
是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）恒成立，
即
px2+2
q+3x
=-
px2+2
q-3x
恒成立，
∴q+3x=3x-q恒成立，得q=0；
又f（2）=-
5
3
，
∴
4p+2
-3×2
=-
5
3
，
解得p=2，
∴f（x）=
2x2+2
-3x
；  
（2）由（1）得f（
1
x
）=
2(
1
x
)2+2
-3(
1
x
)
=
2+2x2
-3x
=f（x）；  
（3）f（x）=
2+2x2
-3x
=-
2x
3
-
2
3x
，
∵f′(x)=-
2
3
+
2
3x2
=
2
3
(
1
x2
-1)，且0＜x＜1，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增．
点评：本题考查函数奇偶性的性质、单调性的判断及解析式的求解，属基础题，定义是解决奇偶性问题的基本方法，要熟练掌握．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=
23
x3-2ax2+3x（x∈R）．
（1）若a=1，点P为曲线y=f（x）上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；
（2）若函数y=f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a．
定义：两个连续函数（图象不间断）f（x）、g（x）在区间[a，b]上都有意义，则称函数|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上的“绝对和”．已知函数f（x）=x3，g（x）=x3-3ax2+2．
（Ⅰ）若函数y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线与直线y=x+2平行，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求汉顺f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对值”
（Ⅲ）记f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对和”为h(a)，a＞
32
，且h（a）=2，试求a的取值范围．
已知函数f（x）=ax3+bx2+c（a，b，c∈R，a≠0）的图象过点P（ 1，2），且在点P处的切线与直线x-3y=0垂直．
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（2）若a＞0，b＞0且（-∞，m），（n，+∞）是f（x）的单调递增区间，试求n-m-2c的范围．
（2012•河北模拟）已知函数f（x）=alnx-bx2的图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-mx，m∈R，如果g（x）的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），（x1＜x2），AB中点为C（x0，0），求证：g′（x0）≠0．
已知二阶矩阵M=（
a1
0b
）有特征值λ1=2及对应的一个特征向量
e
1=
1
1
．
（Ⅰ）求矩阵M；
（II）若
a
=
2
1
，求M10
a
．
（2）已知直线l：
x=1+
1
2
t
y=
3
2
t
（t为参数），曲线C1：
x=cosθ
y=sinθ
  （θ为参数）．
（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的
1
2
倍，纵坐标压缩为原来的
3
2
倍，得到曲线C2C，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
（3）已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x-2|-m）．
（Ⅰ）当m=5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．

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