Question

如图，菱形ABCD的边长为1，有∠D=120°，点E、F分别是AD、DC的中点，BE、BF分别与AC交于点M、N．
（1）求AC的值．
（2）求MN的值．

Answer 1

解：（1）连接BD交AC于点O，由∠ADC=120°，得∠ADO=60°，
而∠AOD=90°，AD=1，得，，∴；
（2）设，，则，而B、M、E三点共线，
∴，即，∴，
即，有，解得，，
∴，即，同理，得
由（1）得，∴．
即．
分析：（1）利用菱形的对角线垂直及对角线平分顶角，再解直角三角形求出边AC
（2）利用三点共线则向量共线，据向量共线的充要条件设出共线的条件及共线的条件，
两等式联立求出点M所在的位置，同理得到点N的位置，求出|MN|的长．
点评：本题考查菱形的对角线的性质、向量共线的充要条件、向量的运算律及运算法则．