Question

已知a∈R，给出下面两个命题：命题p：“在x∈[1，2]内，不等式x²+2ax-2＞0恒成立”；命题q：“关于x的不等式（a²-1）x²+（a-1）x-2＞0的解集为空集”；当p、q中有且仅有一个为真命题时，求实数a的取值范围．

Answer 1

∵x∈[1，2]时，不等式x²+2ax-2＞0恒成立
∴2a＞

2-x2

x

=

2

x

- x，
在x∈[1，2]上恒成立，
令g（x）=

2

x

- x，
则g（x）在[1，2]上是减函数，g（x）_max=g（1）=1，
∴2a＞1．∴若命题p真，则a＞

1

2

，
当命题q真时，a应满足a=1或

a2-1＜0 △≤0

，解得-

7

9

≤a≤1，
∴当p、q中有且仅有一个为真命题时，即

a＞ 1 2 a＞1或a＜- 7 9

或

a≤ 1 2 - 7 9 ≤a≤1

，
∴a∈[-

7

9

，

1

2

]∪(1，+∞)．