Question

（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4,AA₁，

点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A₁E

.

（1）证明：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁;

（2）求直线AD和平面A₁DE所成角的正弦值。

 

 

Answer 1

【答案】

（1）平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁。

(2)正弦值为。

 

【解析】（1）证明：由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性质知AA₁⊥平面ABC。

又DE平面ABC，所以DE⊥AA₁。

而DE⊥A₁E，AA₁ A₁E= A₁，所以DE⊥平面ACC₁A₁。

又DE平面A₁DE，故平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁。

(2)解：过点A作AF⊥A₁E=F，连结DF。

由（1）知，平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁，所以AF⊥平面A₁DE。

故∠ADF即直线AD和平面A₁DE所成的角。

因为DE⊥ACC₁A₁，所以DE⊥AC。

而ΔABC是边长为4的正三角形，于是

。

又因为AA₁=，

所以A₁E=，，，即直线AD和平面A₁DE所成角的正弦值为。