Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线BC₁与平面A₁BD所成角的余弦值是

3

3

．

Answer 1

分析：设正方体的棱长等于1，建立如图空间直角坐标系，得出D、B、C₁、A₁各点的坐标，从而得出

BC1

、

A1D

、

BD

的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组解出

n

=（1，-1，-1）是平面A₁BD的一个法向量，利用向量的夹角公式算出cos＜

BC1

，

n

＞的值，即得直线BC₁与平面A₁BD所成角的正弦值，最后利用同角三角函数关系可得直线BC₁与平面A₁BD所成角的余弦值．

解答：解：分别以DA、DC、DD₁为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系
设正方体的棱长等于1，可得
D（0，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），A₁（1，0，1），
∴

BC1

=（-1，0，1），

A1D

=（-1，0，-1），

BD

=（-1，-1，0）
设

n

=（x，y，z）是平面A₁BD的一个法向量，
则

n • A1D =-x-z=0 n • BD =-x-y=0

，取x=1，得y=z=-1
∴平面A₁BD的一个法向量为

n

=（1，-1，-1）
设直线BC₁与平面A₁BD所成角为θ，则
sinθ=|cos＜

BC1

，

n

＞|=

BC1 • n

|BC1| • n

=

6

3

∴cosθ=

1-sin2θ

=

3

3

，即直线BC₁与平面A₁BD所成角的余弦值是

3

3

故答案为：

3

3

点评：本题给出正方体模型，求直线与平面所成角的余弦值，着重考查了正方体的性质、利用空间向量研究直线与平面所成角等知识，属于中档题．