Question

已知在（

1

2

x²-

1

x

）ⁿ的展开式中，第9项为常数项，求：
（1）n的值；
（2）展开式中x⁵的系数；
（3）含x的整数次幂的项的个数．

Answer 1

（1）在（

1

2

x²-

1

x

）ⁿ的展开式中，第9项为常数项，而第9项的通项公式为 T₉=

C

8n

•2^8-n•x^2n-16•x^-4=2^8-n•

C

8n

•x^2n-20，
故有 2n-20=0，解得 n=10．
（2）由（1）可得展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r10

•2^r-10•x^20-2r•（-1）^r•x-

r

2

=（-1）^r•2^r-10•

C

r10

•x20-

5r

2

．
令20-

5r

2

=5，求得r=6，故展开式中x⁵的系数为

1

24

•

C

610

=

105

2

．
（3）由20-

5r

2

为整数，可得r=0，2，4，6，8，故含x的整数次幂的项的个数为5．