题目内容

已知函数f(x)=
20x-5x2
，2≤x≤4
x
x2+1
，x＜2
，则定积分
∫
4
-2
f(x)dx=
5
π
5
π
．
分析：将
∫
4
-2
f(x)dx转化成
∫
2
-2
x
x2+1
dx+
∫
4
2
20x-5x2
dx，然后根据函数f（x）=x
x2+1
是奇函数，则
∫
2
-2
x
x2+1
dx=0，
∫
4
2
20x-5x2
dx表示椭圆
y2
20
+
(x-2)2
4
=1面积的
1
4
，即可求出所求．
解答：解：
∫
4
-2
f(x)dx=
∫
2
-2
x
x2+1
dx+
∫
4
2
20x-5x2
dx
根据函数f（x）=x
x2+1
是奇函数，则
∫
2
-2
x
x2+1
dx=0
令y=
20x-5x2
则y2+5x2-20x=0（y≥0）
即
y2
20
+
(x-2)2
4
=1（y≥0）
∫
4
2
20x-5x2
dx表示椭圆
y2
20
+
(x-2)2
4
=1面积的
1
4
，而椭圆的面积为
ab
π
∴
∫
4
2
20x-5x2
dx=
1
4
20×4
π=
5
π
∴
∫
4
-2
f(x)dx=
∫
2
-2
x
x2+1
dx+
∫
4
2
20x-5x2
dx=
5
π
故答案为：
5
π
点评：本题主要考查了定积分的简单应用，以及定积分的几何意义，同时考查了转化的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函数f（x）的对称中心；
（2）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（3）是否存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．
已知函数f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，则f[f（-2）]=
3
3
．
已知函数f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）当x∈[0，2π]时，求使f(x)=
3
成立的x的值．
已知函数f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的图象过点（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在其定义域上有且只有一个零点；
（3）若f（x）+mx＞1对一切的正实数x均成立，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，则当x=
4π
3
4π
3
时，函数f（x）有最大值，最大值为
2
3
2
3
．

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