Question

如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.

（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；

（2）求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；

（3）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°.

Answer 1

(1) 当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行(2) 证明略（3）BE=-时，PA与平面PDE所成角为45°

解析:

（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.

∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC.

又EF平面PAC，而PC平面PAC，

∴EF∥平面PAC.                                                                               4分

（2）以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系

则P（0，0，1），B（0，1，0），

F（0，，），D（，0，0）.

设BE=x，则E（x，1，0），

·=（x，1，-1）·（0，，）=0，

∴PE⊥AF.                                                                                                              10分

（3）  设平面PDE的法向量为m=(p,q,1),

由（2）知=（，0，-1），=（x，1，-1）

由，得m=.                                                                          12分

而=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45°,

∴sin45°==，

∴=,                                                                                        14分

得BE=x=-或BE=x=+＞（舍去）.

故BE=-时，PA与平面PDE所成角为45°.                             16分