题目内容

如图所示，过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F作直线交C于A、B两点，过A、B分别向C的准线l作垂线，垂足为A′，B′，已知四边形AA′B′F与BB′A′F的面积分别为15和7，则△A′B′F的面积为________．

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分析：设△A′B′F的面积为S，直线AB：x=my+ $\text{[math]}$ ，代入抛物线方程，利用韦达定理，计算S_△AA'F，S_△BB'F，求出面积的积，利用四边形AA′B′F与BB′A′F的面积分别为15和7，建立方程，即可求得△A′B′F的面积．
解答：设△A′B′F的面积为S，直线AB：x=my+ $\text{[math]}$ ，代入抛物线方程，消元可得y²-2pmy-p²=0
设A（x₁，y₁） B（x₂，y₂），则y₁y₂=-p²，y₁+y₂=2pm
S_△AA'F= $\text{[math]}$ |AA'|×|y₁|= $\text{[math]}$ |x₁+ $\text{[math]}$ ||y₁|= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）|y₁|
S_△BB'F= $\text{[math]}$ |BB'|×|y₂|= $\text{[math]}$ |x₂+ $\text{[math]}$ ||y₂|= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）|y₂|
∴ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）|y₁|× $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）|y₂|= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ （m²+1）
S_△A′B′F= $\text{[math]}$ |y₁-y₂|= $\text{[math]}$ =S
∵四边形AA′B′F与BB′A′F的面积分别为15和7
∴ $\text{[math]}$ （m²+1）=（15-S）（7-S）
∴ $\text{[math]}$ S²=（15-S）（7-S）
∴ $\text{[math]}$ S²-22S+105=0
∴S=6
故答案为：6
点评：本题考查抛物线的性质，考查面积的计算，解题的关键是正确求出三角形的面积，属于中档题．