Question

已知函数f(x)=(x2-x-

1

a

)eax(a≠0)．
（Ⅰ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，若不等式f(x)+

3

a

≥0对x∈[-

3

a

，+∞)恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=0的值，讨论a与-2的大小关系，解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可求出函数的单调区间；
（Ⅱ）讨论满足f′（x）=0的点将区间[-

3

a

，+∞）分成几段，然后利用列表法求出f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，从而求出最小值，使[f（x）+

3

a

]min≥0恒成立，求出a的取值范围即可．

解答：解：f′(x)=(2x-1)eax+(x2-x-

1

a

)•eax•a=e^ax（ax+2）（x-1）（2分）
（ I）令f′（x）=0即（ax+2）（x-1）=0，解得x=-

2

a

或x=1．（3分）
当-

2

a

＜1即a＜-2时，
令f′（x）＞0解得-

2

a

＜x＜1；令f′（x）＜0解得x＜-

2

a

或x＞1．
则f（x）在(-∞，-

2

a

)，（1，+∞）上为减函数，在(-

2

a

，1)上为增函数．（5分）
当-

2

a

=1即a=-2时，f′（x）=e^-2x（-2）（x-1）²≤0在R上恒成立，
则f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．（6分）
当-

2

a

＞1即-2＜a＜0时，
令f′（x）＞0解得1＜x＜-

2

a

；令f′（x）＜0解得x＞-

2

a

或x＜1．
则f（x）在（-∞，1），(-

2

a

，+∞)上为减函数，在(1，-

2

a

)上为增函数．（8分）
综上，当a＜-2时，f（x）的单调递增区间为(-

2

a

，1)，单调递减区间为(-∞，-

2

a

)，（1，+∞）；
当a=-2时，f（x）单调递减区间为（-∞，+∞）；
当-2＜a＜0时，f（x）的单调递增区间为(1，-

2

a

)，单调递减区间为（-∞，1），(-

2

a

，+∞)．（9分）
（ II）当a＞0时，列表得：

x	(- 3 a ，- 2 a )	- 2 a	(- 2 a ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	增	极小值	增

又f(-

3

a

)=

9+2a

a2

e-3＞0，f(1)=-

1

a

ea＜0，
从而当x≥-

3

a

时，函数f（x）在x=1时取得最小值f(1)=-

1

a

ea，（12分）
由题意，不等式f(x)+

3

a

≥0对x∈[-

3

a

，+∞)恒成立，
所以得-

1

a

ea+

3

a

≥0，解得0＜a≤ln3，
从而a的取值范围为（0，ln3]．（14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，属于中档题．