Question

如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=

1

2

AD=2，G是EF的中点．
（Ⅰ）求证：平面AGC⊥平面BGC；
（Ⅱ）求三棱锥A-GBC的体积．

Answer 1

分析：（I）由G是矩形ABEF的边EF的中点，我们由已知中ABEF是矩形，且AF=

1

2

AD=2，得到AG，及BG的长，根据勾股定理，我们可得到AG⊥BG，又由平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，结合面面垂直的性质，我们易得到BC⊥平面ABEF，进而由线面垂直的定义得到BC⊥AG，由线面垂直及面百垂直的判定定理，即可得到平面AGC⊥平面BGC；
（Ⅱ）由（I）中结论，我们易得到三棱锥A-GBC中以CB为高，在三角形ABG为底的三棱锥，求出底面面积和高后，代入棱锥体积公式即可得到答案．

解答：证明：（I）∵G是矩形ABEF的边EF的中点
∴AG=BG=

22+22

=2

2

∴AG²+BG²=AB²
∴AG⊥BG
又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
且BC⊥AB
∴BC⊥平面ABEF，
又∵AG?平面ABEF，
∴BC⊥AG
∵BC∩BG=B
∴AG⊥平面BGC
∵AG?平面AGC
∴平面AGC⊥平面BGC；
解：（Ⅱ）由（I）得知：直线BC⊥平面ABEF
∴CB是三棱锥的高
而S△ABG=

1

2

×2

2

×2

2

∴V_A-GBC=V_C-ABG=

1

3

×4×4=

16

3

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中熟练掌握空间线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化是证明本题结论的重要环节．