Question

学校食堂每天供应1000名学生用餐，每星期一有两套套餐A，B可供选择（每人选一套套餐）．调查资料表明：凡是星期一选A套餐的，下星期一会有20%改选B套餐．而选B的下星期一则有30%改选A，若用a_n，b_n表示在第n个星期一分别选A，B的人数
（1）试用a_n，b_n表示a_n+1
（2）试确定a_n与a_n+1的关系，并求当a₁=a时的通项a_n．

Answer 1

分析：（1）依题意可知：a_n+1=（1-20%）a_n+30%b_n，由此能用a_n，b_n表示a_n+1．
（2）由b_n=1000-a_n，知a_n+1=

4

5

an+

3

10

(1000-an)=

1

2

an+300．所以a_n+1-600=

1

2

an-300=

1

2

(an-600），由此能求出当a₁=a时的通项a_n．

解答：解：（1）依题意可知：a_n+1=（1-20%）a_n+30%b_n
=

4

5

an+

3

10

bn（3分）
（2）∵b_n=1000-a_n；
∴a_n+1=

4

5

an+

3

10

(1000-an)=

1

2

an+300（5分）
∴a_n+1-600=

1

2

an-300=

1

2

(an-600）
即数列{a_n-600}是公比为

1

2

的等比数列（9分）
首项为a₁-600=a-600，
∴a_n-600=（a-600）•（

1

2

）^n-1（11分）
故通项a_n=600+（a-600）•（

1

2

）^n-1．（12分）

点评：本题考查数列知识在生产实际中的应用，解题时要认真审题，理清题设中的数量关系，合理地运用数列知识进行求解．