Question

已知函数f(x)=2sin(2x-

π

6

)，x∈R，
（1）求出函数f（x）的最小正周期和f（0）的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间．
（3）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．

Answer 1

分析：（1）根据函数的解析式可求得函数的最小正周期，以及f（0）=2sin（-

π

6

） 的值．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
（3）由x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最值以及取得最值时x的值．

解答：解：（1）根据函数f(x)=2sin(2x-

π

6

)，x∈R，可得函数的最小正周期为

2π

2

=π，
f（0）=2sin（-

π

6

）=2×（-

1

2

）=-1．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

3

，
故函数的增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

3

]，k∈z．
（3）由x∈[0，

π

2

]，可得-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
故当2x-

π

6

=-

π

6

时，即x=0时，sin（2x-

π

6

）取得最小值为-

1

2

，函数f（x）取得最小值为-1；
当2x-

π

6

=

π

2

时，即x=

π

3

时，sin（2x-

π

6

）取得最大值为1，函数f（x）取得最大值为2．

点评：本题主要考查复合三角函数的周期性、单调性的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．