Question

已知△ABC在平面α内,点P平面α,PA=PB=PC=a,∠BPC=β,∠APC=γ,∠APB=θ且cosβ+cosγ=1+cosθ.

(1)求证:平面PAB⊥α;

(2)设PA中点为M,P在α上的射影为O,O在AC上的射影为N,求证:平面OMN∥平面PBC.

Answer 1

剖析:(1)由于PA=PB=PC,我们寻找与平面α垂直的直线;(2)利用面面平行的判定定理,证平面OMN中有两条相交直线平行于平面PBC.

证明:(1)由cosβ+cosγ=1+cosθ及余弦定理可得,BC²+AC²=AB²,即∠ACB=90°.

    又由PA=PB=PC可知,线段PA、PB、PC在平面α上的射影长也相等,因此,P在α上的射影应是△ABC的外心,即斜边AB的中点O,连结PO,则PO⊥α,而PO平面PAB,∴平面PAB⊥α.

    (2)∵PA=PB,PO⊥AB,∴AO=OB.

    又ON⊥AC,BC⊥AC,

    ∴ON∥BC.∴ON∥平面PBC.

    又OM为△PAB的中位线,

    ∴OM∥PB.∴OM∥平面PBC.

    而OM、ON是平面OMN内两条相交直线,

    ∴平面OMN∥平面PBC.

讲评:要熟练掌握射影与三角形心的关系:设平面ABC外一点P在其上的射影为O,若P到三顶点距离相等,则O是外心;若P到三边距离相等,则O是内心;若两组对棱分别垂直,则O是垂心.