Question

圆C₁：x²+y²+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0对称，则

1

a

+

4

b

的取值范围是

（-∞，1]∪[9，+∞）

．

Answer 1

分析：依题意，直线2ax-by+2=0经过圆C₁的圆心（-1，2），从而可得到a，b的关系式，利用一元二次方程的判别式即可求得

1

a

+

4

b

的取值范围．

解答：解：∵圆C₁：x²+y²+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0对称，
∴直线2ax-by+2=0经过圆C₁的圆心（-1，2），
∴-2a-2b+2=0，
∴a+b=1（a≠0，b≠0）．
∴b=1-a，
∴

1

a

+

4

b

=

1

a

+

4

1-a

=

3a+1

a(1-a)

，令z=

3a+1

a(1-a)

，
则za²+（3-z）a+1=0．
当a=-

1

3

时，z=0，
当a≠-

1

3

时，za²+（3-z）a+1=0有解，
∴△=（3-z）²-4z=z²-10z+9≥0，
∴z≥9或z≤1．
即

1

a

+

4

b

≥9或

1

a

+

4

b

≤1．
故答案为：（-∞，1]∪[9，+∞）

点评：本题考查基本不等式，理解得到直线2ax-by+2=0经过圆C₁的圆心（-1，2）是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．