Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=

1

2

an•an+1(n∈N*)，其中a₁=1，a_n≠0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足(2an-1)(2bn-1)=1，T_n为{b_n}的前n项和，求证：2T_n＞log₂（2a_n+1）n∈N．

Answer 1

（Ⅰ）已知式即Sn=

1

2

anan+1，故an+1=Sn+1-Sn=

1

2

an+1an+2-

1

2

anan+1．
由条件知a_n+1≠0，所以a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．
由于a1=S1=

1

2

a1a2，且a₁=1，故a₂=2．
于是a_2m-1=1+2（m-1）=2m-1，a_2m=2+2（m-1）=2m，
所以a_n=n（n∈N^*）．
（Ⅱ）由(2an-1)(2bn-1)=1，得(2n-1)(2bn-1)=1，2bn=

2n

2n-1

，
故bn=log2

2n

2n-1

．
从而Tn=b1+b2++bn=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)．
2Tn=2log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)2
因此2T_n-log₂（2a_n+1）=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)2-log₂（2n+1）
=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)2+log2

1

2n+1

=log2[(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)2•

1

2n+1

]．
设f(n)=(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)2•

1

2n+1

，
则f(n+1)=(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

•

2n+2

2n+1

)2•

1

2n+3

，
故

f(n+1)

f(n)

=

2n+1

2n+3

•(

2n+2

2n+1

)2=

(2n+2)2

(2n+3)(2n+1)

=

4n2+8n+4

4n2+8n+3

＞1，
注意到f（n）＞0，所以f（n+1）＞f（n）．
特别地f(n)≥f(1)=

4

3

＞1，
从而2T_n-log₂（2a_n+1）=log₂f（n）＞0．
所以2T_n＞log₂（2a_n+1）．