Question

设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1A。

（1）若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素。

（2）A能否为单元素集合？请说明理由。

（3）若a∈A，证明：1－∈A。

（4）求证：集合A中至少含有三个不同的元素。

Answer 1

（1）A中至少还有两个元素：－1和。

（2）A不可能是单元素集合，理由见解析。

（3）证明见解析。

（4）证明见解析。

解析:

（1）由2∈A得，－1∈A，同理∈A ，又得2∈A，

∴ A中至少还有两个元素：－1和。

（2）如果A为单元素集合，则，

即＝0，该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集。

（3）证明：由a∈A得，∈A ，则∈A，可得出A，即1－∈A。

（4）证明：由（3）知a∈A时，∈A， 1－∈A 。现在证明a，1－，三数互不相等。①若a=,即a₂－a+1=0 ，方程无解，∴a≠；

②若a=1－，即a²-a+1=0，方程无解，∴a≠1－；

③若1－ =，即a₂-a+1=0，方程无解，∴1－≠。

综上所述，集合A中至少有三个不同的元素。

点评：（4）的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨。